大乐透每个奖项的中奖概率，都可以用数学精确算出来。只要理解「组合数」的概念，就能自己验证，也能更实际地看待手上的彩券。

总组合数

从 49 个号码选出 6 个、不考虑顺序的方法数是：

C(49, 6) = 49×48×47×46×45×44 ÷ (6×5×4×3×2×1) = 13,983,816

每一注都是这 13,983,816 种组合中的一种，所以头奖概率就是 13,983,816 分之 1。

把号码分成三群

开奖后，49 个号码可以分成三群：6 个奖号、1 个特别号，以及其余 42 个号码。一注的 6 个号码，就是从这三群中各取几个。例如「对中 4 个奖号、含特别号」，代表从奖号取 4 个、特别号取 1 个、其余号码取 1 个，组合数是 C(6,4)×1×C(42,1) = 15×42 = 630。

各奖项的组合数与概率

依同样方法计算，结果如下：

  • 头奖（6 个全中）：1 种，约 1/13,983,816
  • 贰奖（5 个＋特别号）：6 种，约 1/2,330,636
  • 参奖（5 个）：6×42 = 252 种，约 1/55,491
  • 肆奖（4 个＋特别号）：630 种，约 1/22,197
  • 伍奖（4 个）：15×861 = 12,915 种，约 1/1,083
  • 陆奖（3 个＋特别号）：20×861 = 17,220 种，约 1/812
  • 柒奖（2 个＋特别号）：15×11,480 = 172,200 种，约 1/81
  • 普奖（3 个）：20×11,480 = 229,600 种，约 1/61

其中 861 是 C(42,2)，11,480 是 C(42,3)。

整体中奖率

8 个奖项加总共有 432,824 种中奖组合，整体中奖率约 32 分之 1，大约 3.1%。换句话说，平均每买 100 注，约有 97 注不会对中任何奖项，而中奖的组合里，绝大多数是柒奖和普奖。

头奖概率有多低

13,983,816 分之 1 是很难想像的数字，可以换个角度理解：假设每期固定买 1 注、一年约开奖 104 期，平均要等待大约 13 万 4 千年，才会轮到一次头奖。这不是说买满这么多期就一定会中，而是说明这个概率在一般人的一生中几乎不会发生。

概率不会因为历史而改变

每一期都是重新开奖，所有组合的概率永远相同。上期刚开过的号码、很久没出现的「冷门号」，或是连号、同尾数的组合，在下一期的概率都一样。统计过去的开奖纪录可以当作趣味参考，但没有任何预测能力，也不存在能提高中奖率的选号方法。

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