大樂透每個獎項的中獎機率，都可以用數學精確算出來。只要理解「組合數」的概念，就能自己驗證，也能更實際地看待手上的彩券。

總組合數

從 49 個號碼選出 6 個、不考慮順序的方法數是：

C(49, 6) = 49×48×47×46×45×44 ÷ (6×5×4×3×2×1) = 13,983,816

每一注都是這 13,983,816 種組合中的一種，所以頭獎機率就是 13,983,816 分之 1。

把號碼分成三群

開獎後，49 個號碼可以分成三群：6 個獎號、1 個特別號，以及其餘 42 個號碼。一注的 6 個號碼，就是從這三群中各取幾個。例如「對中 4 個獎號、含特別號」，代表從獎號取 4 個、特別號取 1 個、其餘號碼取 1 個，組合數是 C(6,4)×1×C(42,1) = 15×42 = 630。

各獎項的組合數與機率

依同樣方法計算，結果如下：

  • 頭獎（6 個全中）：1 種，約 1/13,983,816
  • 貳獎（5 個＋特別號）：6 種，約 1/2,330,636
  • 參獎（5 個）：6×42 = 252 種，約 1/55,491
  • 肆獎（4 個＋特別號）：630 種，約 1/22,197
  • 伍獎（4 個）：15×861 = 12,915 種，約 1/1,083
  • 陸獎（3 個＋特別號）：20×861 = 17,220 種，約 1/812
  • 柒獎（2 個＋特別號）：15×11,480 = 172,200 種，約 1/81
  • 普獎（3 個）：20×11,480 = 229,600 種，約 1/61

其中 861 是 C(42,2)，11,480 是 C(42,3)。

整體中獎率

8 個獎項加總共有 432,824 種中獎組合，整體中獎率約 32 分之 1，大約 3.1%。換句話說，平均每買 100 注，約有 97 注不會對中任何獎項，而中獎的組合裡，絕大多數是柒獎和普獎。

頭獎機率有多低

13,983,816 分之 1 是很難想像的數字，可以換個角度理解：假設每期固定買 1 注、一年約開獎 104 期，平均要等待大約 13 萬 4 千年，才會輪到一次頭獎。這不是說買滿這麼多期就一定會中，而是說明這個機率在一般人的一生中幾乎不會發生。

機率不會因為歷史而改變

每一期都是重新開獎，所有組合的機率永遠相同。上期剛開過的號碼、很久沒出現的「冷門號」，或是連號、同尾數的組合，在下一期的機率都一樣。統計過去的開獎紀錄可以當作趣味參考，但沒有任何預測能力，也不存在能提高中獎率的選號方法。

本文依官方公開資訊與遊戲內說明整理，遊戲改版後內容可能有所調整，請以遊戲內與官方公告為準。